[C++] 3.2.3 두 공의 충돌 : 법선 벡터

Date: 2020.06.13 Updated: 2020.06.13

카테고리: C++ games

태그: Cpp Graphics Math OpenGL Physics Programming

Chapter 3. 게임 물리 맛보기 : 공 두 개를 충돌시켜보자

벡터, 상대 속도 등등, 해당 강의에서 다루었던 물리학적 개념들이 문과생인 나에겐 생소하고 잘 와닿지 않았던 개념이라 강의를 필기하기에 앞서 개인적으로 따로 공부하여 정리해보았다.

법선 : 접선에 수직인 선

노말 벡터 or 법선 벡터 : 어떤 표면에 ‘수직’인 벡터.

평평한 땅 한 가운데에 막대기를 꽂아둔다면 막대기는 땅(표면)에 직각으로 세워져있는 상태다. 이때 막대기를 땅(표면)의 법선 벡터라고 할 수 있다.

만약 땅(표면)이 기울어져 언덕이 되었다면 막대기 또한 똑같은 만큼으로 기울어질 것이다.

이처럼 법선 벡터는 각 표면에서 90도씩 더해진 관계기 때문에 두 평면끼리 이루는 각도는 법선벡터끼리의 각도와 일치한다. 두 표면의 법선벡터끼리 각을 재거나 내적을 하면 이는 두 표면 자체끼리의 각에 대한 정보를 구하는 것이나 마찬가지다.

오브젝트의 각 면의 노말벡터와 오브젝트로부터 카메라까지 향하는 거리 벡터의 내적 값을 구하면 해당 면이 카메라의 시야에 들어오는지, 즉 렌더링 해야하는지 아닌지를 판별할 수 있다.

\(\vec{V}\) = 카메라까지의 벡터(종점) - 폴리곤의 각 면으로부터 (시점)
- 즉 \(\vec{V}\)벡터를 오브젝트의 각 면으로부터 카메라를 향하는 벡터라고 하면
\(\vec{A}\cdot\vec{V}\) 내적값 > 0
- 예각
- 카메라의 시야에 들어오는 방향.
- A면은 카메라를 바라보고 있다고 판단되어 렌더링한다.
\(\vec{B}\cdot\vec{V}\) 내적값 > 0
- 예각
- 카메라의 시야에 들어오는 방향.
- B면은 카메라를 바라보고 있다고 판단되어 렌더링한다.
\(\vec{C}\cdot\vec{V}\) 내적값 < 0
- 둔각
- 카메라의 시야에 들어오지 않는 방향.
- C면은 뒷부분이라고 판단되어 렌더링하지 않는다.
\(\vec{D}\cdot\vec{V}\) 내적값 < 0
- 둔각
- 카메라의 시야에 들어오지 않는 방향.
- D면은 뒷부분이라고 판단되어 렌더링하지 않는다.

🔴 (빨간공)
- \(\vec{p_0}\) : 🔴의 중심좌표 (위치벡터)
🟡 (노란공)
- \(\vec{p_1}\) : 🟡의 중심좌표 (위치벡터)
🔴공과 🟡공이 충돌하는 그 충돌 접선의 수직방향인 벡터를 노말 벡터라고 할 수 있다.
- 충돌 접선의 수직방향이므로 노말 벡터는 🔴중심으로부터 🟡중심까지의 벡터인 \(\vec{p_1}-\vec{p_0}\) 와 방향이 일치한다.
  - 두 원의 중심과 중심을 잇는 선은 충돌 전선에 수직이다.
- 이 예제에서는 노말 벡터를 🔴중심으로부터 🟡중심까지의 벡터인 \(\vec{p_1}-\vec{p_0}\)의 단위 벡터라고 정의할 것이다.
  - 이를 \(\vec{n_0}\)라고 하자.
  - 단위 벡터이므로 방향만을 나타내게 할 것이다.
🔴중심으로부터 🟡중심을 향하는 벡터의 방향
- \(\vec{n_0} = {\vec{p_1}-\vec{p_0}\over\vert\vec{p_1}-\vec{p_0}\vert}\)
  - 🔴원이 충돌 전 향하던 방향
- \(\vert\vec{n_0}\vert=1\)
🟡중심으로부터 🔴중심을 향하는 벡터의 방향
- \(\vec{n_1} = -\vec{n_0}\)
  - 🔴원이 충돌 전 향하던 방향
  - \(\vec{n_0}\) 과 방향 정반대
- \(\vert\vec{n_1}\vert=1\)

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